说在开头：关于虚数

毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了无理数(举个栗子：同学们可以计算边长为1的等腰直角三角形，那么斜边长是

，

就是无限不循环小数，后续会具体讲这个“第一次数学危机”的故事)，与毕达哥拉斯学派的“万物皆为数”(这里的“数”指的是有理数)的哲理大相径庭，希伯索斯不幸被淹死。而早前负数也曾被大家认为是无意义的数，即使是大神欧拉也为“负数”的概念充满了问好——纠结了很长时间。那为什么现在人们对负数的理解发生了大转变呢?因为我们发明了一种有用的理论上数字，负数并不能很好地用来描述我们看得见、摸得着的，在自然界中能够直观感受的事物，却能很好地描述某种特殊关系(举个栗子：支出/收入)，或个人魅力值等等。

人们在直观感受遭遇挑战时，往往会先选择拒绝;“虚数”这个名词由著名的大数学家/大哲学家笛卡尔创立(名言“我思故我在”，看过“百岁山”矿泉水广告连续剧的小朋友们请举手)，因为当时的观念认为这数很“虚”，当然“虚”有很多层的意思，我想这里标明是“虚构”和“不真实”的意思。理所当然，“虚数”与无理数和负数一样面临着多舛的命运，而且光从它的名字就可以看出当年受到的不公正待遇。

接下来我们进入小学数学课程，我们来看一个简单的二次方程：

= 1，有两个解：1和-1;那么方程

= -1呢?这在实数范围内是没有解的。因为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此一个正数的平方根是两重的：一个正数和一个负数。那所有的平方数就不可能有负数了么?这让数学家们心里痒痒，负数的平方根到底是啥呢?奇怪的概念往往有其自身的价值。

我们将

= -1，改写成1*x*x = -1，将x看成是一种“变换”，通过两次“变换”最终将1变成了-1。那这个“变换”又是什么鬼?如果我们将这种“变换”看成是角度的“旋转”呢?将定义为逆时针旋转90°，那么在如下图中包含两个正交轴的坐标系上，就能够实现1到-1的转变。如下左图所示，构成的正交坐标平面称为“复平面”，其横轴为实数(Real dimension)，纵轴为虚数(Imaginary dimension)，并将

= -1的解用字母i表示，其特指逆时针旋转90°。那如果要顺时针旋转90°呢?那就乘以-i;而且乘以两次-i，结果同乘以两次一样，都得到了-1。

如此我们便将数从一维的实数域拓展到了二维的复数域，即实数与虚数的组合：复数= 实部+*虚部(这对我们理解一些物理特性非常重要哈)。举个栗子：一个复数 Z的实部为1，虚部也为1，那么我们就可以得到复数： Z= 1+i。

复数Z 又可以看作是复平面上的点 (1,i)，如下图所示。即沿着实轴方向前进1，沿着虚轴方向再前进1，其在实轴与虚轴上的投影值即为实部与虚部的值，而“模”则表示该点到原点的距离：

，该点与原点连线后与实轴正方向的夹角为45°，称之为幅角。复数既有长度又有方向，因此可以看做是复平面上的一个矢量。(关于虚数的描述，参考自：知乎-李狗嗨-“虚数i真的很“虚”吗?”)

——恭喜大家，不仅了解了虚数而且还成功掌握了复数的概念;复数概念在电子电路中非常重要，在后续几乎所有的专题中我们都会用到。

对于阻、容、感的阻抗，我们知道电阻：R是实数部分(能量消耗)，而容抗：Xc=1/jwc，和感抗XL=jwL是虚数部分(能量的虚消耗，就是没有能量消耗，能量只是做着储存/释放的工作)，所以阻抗同样可以用复数平面来表示，任何器件阻抗都能写成实部与虚部之和：Z = R + j*Im(公式中的“j”即虚数“i”);对于容抗来说是顺时针旋转90°，感抗是逆时针旋转了90°(电容与电感的阻抗特性对偶)。

我们将阻抗R用幅值和相角进行重构：

阻抗的幅值：

(复数的模)

阻抗的相角：

(复数的幅角)

通过对上述阻抗幅值的公式，可从理论上得到电容器自谐振时(由于Xc = -XL，那么Im = 0)的阻抗为电容器的ESR。

——再次恭喜大家，通过虚数的概念加深了电容器和电感器阻抗概念的理解。

那么虚数到底只是数学上的伎俩，还是有其实际物理意义呢?

2022年1月24日中科大潘建伟团队和南科大范靖运团队分别发表论文，经过独立通过实验测试验证了虚数的必要性，即：仅用量子理论实数公式不能描述标准量子力学的实验结果。我们通过上面的对虚数i的分析，知道虚数只是为了方便数学计算的工具，并没有实际的物理意义，因为任何实际存在的东西都是实数。但是从这次结果来看，虚数是有其物理意义的。那虚数就算有了物理意义，那又能怎样?我还能把它炒着吃了不成。

举个栗子：我们通过爱因斯坦狭义相对论，计算物体的质量m=

，当物体速度超过光速后(即V>C时，

)，

是一个虚数，此时物体的质量就是虚数质量，因此超光速并不违反爱因斯坦狭义相对论，只要那个粒子足够虚!而狭义相对论将宇宙分成了两部分：快宇宙(嗯，这事是天生的，练成博尔特也没用)和慢宇宙：我们所处慢宇宙的最快极限是光速，而快宇宙的最慢极限也是光速(你的那个宇宙跑的太快了吧~)，光速是两个宇宙的屏障。那么理论上就存在这么一种假设的超光速亚原子粒子“快子”，速度天生就能够超越光速，其质量就是个虚数。所以这次实验结果验证了虚数并不“虚”，而是有真实的物理意义，那么快宇宙就是有可能真实存在的么?

三，电子电路物理参数

现在轮到电磁学的分支：电子电路学;而硬件电路所涉及到的只是电子电路学下的一个小应用分支，虽然我们跟《三国演义》中的刘备一样只是现任皇帝(现代物理学)的远房表亲，但是我们都有一个共同的太祖皇帝刘邦——经典物理学;我们同物理学家们一样，是有坚固且完整的理论基础所支撑的。

电子电路学有4个基本物理量：电压V，磁通量φ，电流I，电量Q;而这4个物理量构成了电路的理论基础，我们平时所使用的阻、容、感器件特性均从这些基本量中推理得到。由电磁学理论可知V & φ和Q & I之间的如下关系：

1.根据麦克斯韦方程组的第三方程-法拉第定律：曲面磁通量的变化率等于感应生成电场的环流(记住：磁场跟电流是强相关的);简单表述即：感应电场等于单位时间磁通量的变化，即：V=dφ/dt或dφ=V*dt。

2.电磁学上将：单位时间(t)内通过导体任一横截面的电量(q)叫做电流强度(I)，即I=dq/dt;或dq=i*dt。

如上图所示，4个基本物理量两两构成了一副4象限关系图，对应4种基本电路元件：电阻器，电容器，电感器以及忆阻器。好，那么这4种器件是嘛玩意呢?

1. 电阻器：R=dV/dI，是指电流在电路中所遇到的阻力，描述为对电流阻碍的能力，是一种耗能元件。电阻单位是Ω，1Ω表示：在该元件两端变化1V的电压降，将导致产生1A电流的变化。

——从对电阻器的定义中，电阻R = dV/dI，而非V/I;诶，这啥意思啊?这是因为我们日常所用的电阻器线性度比较好，所以一般用V/I替代了dV/dI的计算，两者计算结果相差不大。

2. 电容器：C=dQ/dV，是指将电能储存在电场中的被动电子元件，是一个储存电场能量(静电场能)的容器;电容单位是F，1F表示：在该元件两端变化1C的电量，将导致产生1V的电压变化。

——同样对于电容器来说，电容量也是Q(电量变化量)相对于V(电压变化量)的曲线斜率(所以有些电容器对电压值很敏感，随着外加电压的增加而电容值有巨大的变化)。

3. 电感器：L=dφ/dI，是指导线内通过变化电流时，在导线的内部及其周围产生交变磁通，是导线的(磁通变化量)与产生此磁通的(电流变化量)之比;电感器是一个储存磁场能量的容器;单位是H，1H表示：通过该元件的电流变化1A时，所产生磁通量的变化为1Wb;

——电感器涉及到了电场与磁场能量的转换，理解上更加复杂一点，后续“电感器原理”分析。

4. 忆阻器： 1971年加州伯克利分校华裔教授蔡少棠从逻辑和公理的观点指出：自然界应该还存在一个电路元件，它表示磁通与电荷的关系：M=dφ/dq;根据d=V*dt，dq=I*dt可以推导出来M=V/I(是不是感觉这个更像是电阻值的计算公式?哈哈);所以忆阻器的单位也是Ω，而其阻值取决于多少电荷经过了这个器件(从-∞à0时间累积的电荷量);2008年，惠普公司的研究人员首次做出纳米忆阻器件，纳米忆阻器件的出现，有望实现非易失性随机存储器。

——根据M=dφ/dq公式，在恒流的情况下忆阻器的电阻同流过其的电量成反比;所以用忆阻器制作的存储器，不再需要通过浮栅(Float-Gate)结构去捕获自由电子来实现MOS的不同状态(随着时间的增加，自由电子会逃走，导致存储信息的丢失)，而是通过材料本身的记忆特性，实现信息的存储，而不会丢失。

——此处是对忆阻器的简单理解，如有需要更深入了解的同学，可以找相关资料学习。

“易经”说：形而下者谓之器。所以我们看到的这些：电阻器，电容器，电感器和忆阻器是形而下的产物，所有的这些都只是阻、容、感的表象;那我们如何能够抓住事物的本质呢?“易经”还说了：形而上者谓之道。我们要加深对阻、容、感的理解，就必须从物理规律的层面去重新解构、解析：

1. 电阻：从本质来说是载流子(自由电子是载流子的一种，当然在半导体中，空穴也是另外一种载流子)在受电场作用而位移过程中受到的阻力。

——在理想情况下，电场力作用于自由电子，使电子朝电场的反向加速运动，根据牛顿第二定律，自由电子应当一直被加速(只要时间足够长，就可以将电子速度达到接近光速)，电流随时间持续增大;但实际上电流到达一个定值后就不会再增大，说明存在一个“摩擦力”反抗着电子的加速;而“摩擦力”主要来自于晶体晶格的热振动，晶体中的杂质、位错、点缺陷会使电子受到散射，而散射事件使得电子失去动能并改变运动方向，从而失去前进方向上的速度分量，这就是金属有电阻的原因。

——对于横截面恒定材料的电阻R = ρ*Len/A，R：电阻值; ρ：体电阻率;Len：材料长度;A：材料横截面积。后续在“电阻器原理专题”中详细讲解。

2. 电容：由两个导体构成，任何两个导体之间都有一定的电容量，其本质是对两个导体在一定电压下存储电荷能力的度量;在一定电压下，能够存储的电荷越多，则这对导体的电容量就越大。

——只要是两个不短路的导体，且加电压后会有电荷积累，那么它们之间就会有电容;一定要记住这个条件，后面不同电容的出现方式会超出想象，这是唯一遵循的准则。后续在“电容器原理”以及“信号完整性基础专题”中详细讲解。

——C=ε0*εr*A/d，C：电容量;ε0：真空介电常数;εr：相对介电常数;A：电极面积;d：电极距离。

3. 电感必须需要一个又一个的圈圈么?其实并非如此，判断标准有点抽象?抽象就对了：

1， 电感周围会形成闭合磁力线圈。

2， 电感量是导体电流1A时周围的磁力线匝数(Wb)。

3， 周围磁力线匝数改变时导体两端产生感应电压(感应电动势)。

——任何有电流流过的导体都有电感(自感)，与导体的几何结构及磁导率强相关;电感将是我们后续大部分专题中的绝对主角，同学们需要学会欣赏它的精彩演绎，从而有更深入的认知。后续在“电感器原理”以及“信号完整性基础专题”中详细讲解。

4. 电容要发挥其作用，就必须电极两端的电荷数量(电势差)发生变化，如果电容两个电极电荷数量不变(电极两端电压保持不变)，那么电容就相当于一根导线。

5. 同理，电感要产生作用，必须流过电感的电流发生变化，如果电流没有变化，那么电感也相当于是一根导线。

如此，我们便知道了：世界上本来就存在电阻、电容、电感，在任何满足能够体现阻性、容性和感性的条件下，就能呈现出它们的存在来。这些特性不是人所创造，是在宇宙大爆炸的瞬间就赋予了世间万物这些物理特性;我们将电阻特性、电容特性、电感特性器化(形而下)，制造出了电阻器、电容器、电感器。

——例如传输线(例如：PCB走线)就完全包含了阻性、容性以及感性，并对信号的传输起到了决定性的作用，后续将《信号完整性基础》专题详细介绍。

四，理想电阻器、电容器、电感器的特性

1，理想电阻器

我们已经知道了电阻器是阻碍电流通过的作用;而根据能量守恒定律，电阻器将电能转化为了热能;如果用一个字来描述电阻器的特性，那就是：阻(肉盾)。在电阻器的两端加电压会产生一定的电流，而这部分电能(

)被电阻所消耗，所以大手一挥给它定个性吧：电阻器是一种耗能元件。

我们通过两种电压模式来观察电阻器的特性：直流电压和交流电压;

1.在直流电压条件下，通过电阻器的电流是恒定的。

2.在交流电压条件下，通过电阻器的电流跟随着电压变化而变化，而电阻器阻值保持不变(理想电阻器不随电压/电流而变化)，所以电压和电流保持线性关系：I=V/R。

2，理想电容器

电容器是一种储能元件，将能量以静电场能(电场能量)的形式进行储存。理想电容器两端电压不能突变，我们同样通过两种电压模式来看电容器的特性：直流电压和交流电压;

1.在电容器两端加直流电压(中间串有电阻R)时：

1， 上电瞬间，电容器在电路中呈现低阻抗状态，对电容器进行快速(大电流)充电，电容器两端等效于短路;

2， 随后电容器两端电压非线性(指数曲线)增加，RC充电时间常数为= R*C;

——RC充电时间常数时电容器两端电压达到0.63倍外加电压。

3， 电容器两端电压等于外加直流电压(理论上电容器两端电压永远小于外加直流电压，即永远充不满)，此时流经电容器的电流为0，电容器等效于开路;

4， 此时电源释放的电能，以静电场能的形式(电容器两端增加电荷)储存在电容里。

2.在电容器两端加交流电压，电流相位超前电压相位90°。

3.电容器阻抗c=1/;通过电容器阻抗的计算，我们知道电容器阻抗与电容器容值及信号频率成反比，从而直观的得到电容器实际应用：大电容器用于“隔直通交”，而小电容器用于“通高阻低”。

3，理想电感器

电感器也是一种储能元件，它并不消耗电场能量，而是将电场能量转换成磁场能量，以磁场能量形式储存起来;流经理想电感器电流不能突变，通过电感的电流会产生自感电动势，其变化趋势与外加电压变化的方向相反(负反馈)。

通过两种电压模式来看电感器的特性：直流电压和交流电压;

1.在电感器两端加直流电压(中间串有电阻R)时：

1， 上电瞬间，电感器产生强大自感电动势与外加电压相等(后续在《电感器原理》中再来具体扯一扯这一特性)、方向相反，在电路中呈高阻抗状态(断路);

2， 随着电流增加速率慢慢减小，自感电动势也随之减小;

3， 直到电流趋于稳定时，自感电动势为0，电感器在电路中相当于短路;此时电源释放的能量完全转化为电感器的磁场能量。

2.在电感器两端加交流电压，自感电动势落后于电流相位90°，外加电压超前于电流相位90°，自感电动势与外加交流电压相位完全相反;

3.电感器阻抗L=;通过电感器阻抗的计算，我们知道了电感器阻抗与电感器感值及信号频率成正比，从而直观的得到电感器的应用：大电感器用于“通直阻交”，小电感器用于“通低阻高”，与电容器刚好相反。

写在最后

阻、容、感是材料所固有的特性，而度量电阻器的单位：Ω，度量电容器的单位：F，以及度量电感器的单位：H都是人为所定义的。这是什么意思呢?举个栗子：假如我的体重是80Kg(谦虚一下~)，其度量质量的单位Kg是人为所定义，而质量却是物质本身所固有的特性。

接下来，我们就要认认真真地进入《电阻器原理》。